Question

17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为4π，且对?x∈R，有f（x）≤f（$\frac{π}{3}$）成立，则f（x）的一个对称中心坐标是（　　）

• A． （-$\frac{2π}{3}$，0）
• B． （-$\frac{π}{3}$，0）
• C． （$\frac{2π}{3}$，0）
• D． （$\frac{5π}{3}$，0）

Answer 1

分析 由题意，利用周期公式可求$ω=\frac{1}{2}$．由f（x）≤f（$\frac{π}{3}$）恒成立，结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ=$\frac{π}{3}$，令$\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z），即可解得f（x）的对称中心，即可得解．

解答 解：由f（x）=sin（ωx+φ）的最小正周期为4π，得$ω=\frac{1}{2}$．
因为f（x）≤f（$\frac{π}{3}$）恒成立，
所以f（x）${\;}_{max}=f（\frac{π}{3}）$，即$\frac{1}{2}×\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），
由|φ|＜$\frac{π}{2}$，得φ=$\frac{π}{3}$，
故f（x）=sin（$\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}$）．
令$\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z），得x=2kπ-$\frac{2π}{3}$，（k∈Z），
故f（x）的对称中心为（2kπ-$\frac{2π}{3}$，0）（k∈Z），
当k=0时，f（x）的对称中心为（-$\frac{2π}{3}$，0），
故选：A．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．