Question

2．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-2a_n=2ⁿ，
（1）证明：数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差数列，并求出{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{（n+2）{2}^{n-1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由等式两边同除以2ⁿ⁺¹，运用等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；
（2）化简b_n=$\frac{（n+1）•{2}^{n}-n•{2}^{n-1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．

解答 证明：（1）a_n+1-2a_n=2ⁿ，
两边同除以2ⁿ⁺¹，可得
$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，
可得数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首项为$\frac{1}{2}$，公差为$\frac{1}{2}$的等差数列；
即有$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$n，
则a_n=n•2^n-1；
（2）b_n=$\frac{（n+2）{2}^{n-1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{（n+1）•{2}^{n}-n•{2}^{n-1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
则S_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$
=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=1-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$＜1．

点评 本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查构造法的运用，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查不等式的性质，属于中档题．