Question

11．已知F₁、F₂是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），过点P作∠F₁PF₂的角平分线交x轴于点M，若2|PM|²=|PF₁|•|PF₂|，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 在三角形PF₁F₂中，由平分线定理，结合椭圆的定义可得$\frac{c}{a}$=$\frac{{F}_{1}M}{P{F}_{1}}$，又在△PF₁M和△PF₂M中，由余弦定理和诱导公式以及椭圆的定义，化简整理可得得$\frac{{F}_{1}M}{P{F}_{1}}$=$\frac{a}{2c}$，由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：在三角形PF₁F₂中，由平分线定理，可得
$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$=$\frac{{F}_{1}M}{{F}_{2}M}$，即有$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{1}+P{F}_{2}}$=$\frac{{F}_{1}M}{{F}_{1}M+{F}_{2}M}$，
由椭圆的定义可得，
$\frac{P{F}_{1}}{2a}$=$\frac{{F}_{1}M}{2c}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{{F}_{1}M}{P{F}_{1}}$，
又在△PF₁M和△PF₂M中，
由余弦定理可得，
cos∠F₁MP=$\frac{P{M}^{2}+{F}_{1}{M}^{2}-P{{F}_{1}}^{2}}{2PM•{F}_{1}M}$，
cos∠F₂MP=$\frac{P{M}^{2}+{F}_{2}{M}^{2}-P{{F}_{2}}^{2}}{2PM•{F}_{2}M}$，
由cos∠F₁MP+cos∠F₂MP=0，
化简可得PM²•（PF₁+PF₂）=PF₁•F₂M²+PF₂•F₁M²，
结合PF₁+PF₂=2a，PF₁•F₂M=PF₂•F₁M，2PM²=PF₁•PF₂，
即有2a•PM²=PF₂•F₁M•2c，
即$\frac{{F}_{1}M}{P{F}_{1}}$=$\frac{a}{2c}$，
可得$\frac{c}{a}$=$\frac{a}{2c}$，即c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
可得e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用内角平分线定理和三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．