Question

（本小题满分12分）已知椭圆C:过点，离心率为，点分别为其左右焦点.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）若上存在两个点，椭圆上有两个点满足，三点共线，三点共线，且.求四边形面积的最小值.

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由离心率为e=，得到一方程，再由椭圆过点，代入方程，再由a，b，c的关系，解方程组，即可得到a，b，从而求出椭圆方程；

（2）按直线斜率不存在和存在分别讨论：当直线斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得,.当直线斜率存在时，设直线方程为：与联立消去y，得到x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式可将MN的长用k的代数式表示出来；此时由于直线，所以PQ的方程为：将它与椭圆方程联立消去y，得到x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式可将PQ的长用k的代数式表示出来；从而四边形面积S可表示为k的函数，进而就可求出S的最小值．

试题解析：（1）由题意得：，得，因为，得，所以，所以椭圆C方程为. 4分

（2）当直线斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得,.

当直线斜率存在时，设直线方程为：与联立得；

令，，.

， 6分

，直线PQ的方程为：

将直线与椭圆联立得，

令,，；

， 8分

四边形面积S=，

令，上式

=

所以.最小值为 12分

考点：1．椭圆的标准方程；2．直线与圆锥曲线的关系．