Question

8．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin（B+C）=$\sqrt{3}$asin（$\frac{π}{2}$-B）．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若b=2$\sqrt{3}$，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用诱导公式，结合正弦定理，同角的商数关系，可得角B；
（Ⅱ）由余弦定理，可得a，c的关系，结合基本不等式，即可得到周长的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由bsin（B+C）=$\sqrt{3}$asin（$\frac{π}{2}$-B），
得：bsinA=$\sqrt{3}$acosB，
结合正弦定理有：sinBsinA=$\sqrt{3}$sinAcosB，
因为在△ABC中，sinA≠0，
所以sinB=$\sqrt{3}$cosB，
即tanB=$\sqrt{3}$． 
又0＜B＜π，
则B=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由余弦定理 b²=c²+a²-2accosB，
因为B=$\frac{π}{3}$，b=2$\sqrt{3}$，
所以12=a²+c²-ac，即（a+c）²-12=3ac． ①
因为ac≤（$\frac{a+c}{2}$）²，②
由①②得（a+c）²-12≤3•（$\frac{a+c}{2}$）²，
解得a+c≤4$\sqrt{3}$．
所以当且仅当a=c=2$\sqrt{3}$时，△ABC周长的最大值为6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查同角公式和诱导公式的运用，基本不等式的运用，属于中档题．