Question

17．已知ω＞0，函数f（x）=cos（$\frac{π}{4}$-ωx）在（$\frac{π}{2}$，π）上单调递减，则ω的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$]
• B． [$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]
• C． （0，$\frac{1}{2}$]
• D． （0，2]

Answer 1

分析 根据函数的单调性求出0＜ω≤2，然后求出当x∈（$\frac{π}{2}$，π）时，ωx-$\frac{π}{4}$的取值范围，利用余弦函数的单调性建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：f（x）=cos（$\frac{π}{4}$-ωx）=cos（ωx-$\frac{π}{4}$），
若函数f（x）在（$\frac{π}{2}$，π）上单调递减，
则T=$\frac{2π}{ω}$≥2（$π-\frac{π}{2}$）=π，
∴0＜ω≤2，
若$\frac{π}{2}$＜x＜π，则$\frac{π}{2}$ω＜ωx＜ωπ，
$\frac{π}{2}$ω-$\frac{π}{4}$＜ωx-$\frac{π}{4}$＜ωπ-$\frac{π}{4}$，
∵0＜ω≤2，
∴-$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$ω-$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴-$\frac{π}{4}$＜ωπ-$\frac{π}{4}$＜$\frac{7π}{4}$，
∴若函数f（x）在（$\frac{π}{2}$，π）上单调递减，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{2}ω-\frac{π}{4}≥0}\\{ωπ-\frac{π}{4}≤π}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{ω≥\frac{1}{2}}\\{ω≤\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
即$\frac{1}{2}$≤ω≤$\frac{5}{4}$，
故选：A．

点评 本题主要考查三角函数单调性的应用，根据函数的单调性和周期之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．