Question

6．已知函数f（x）=|x-1|+|2x+2|
（1）解不等式f（x）＞5；
（2）若不等式f（x）＜a（a∈R）的解集为空集，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-1，x＜-1}\\{x+3，-1≤x≤1}\\{3x+1，x＞1}\end{array}\right.$，分类讨论求得不等式f（x）＞5的解集．
（2）由（1）可得函数f（x）的最小值为f（-1）=2，结合题意求得a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=|x-1|+|2x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-1，x＜-1}\\{x+3，-1≤x≤1}\\{3x+1，x＞1}\end{array}\right.$，
当x＜-1时，由-3x-1＞5，求得x＜-2．
显然，当-1≤x≤1时，不等式f（x）＞5无解，
当x＞1时，由3x+1＞5，求得x＞$\frac{4}{3}$．
综上可得，不等式的解集为{x|x＜-2或x＞$\frac{4}{3}$ }．
（2）由（1）可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-1，x＜-1}\\{x+3，-1≤x≤1}\\{3x+1，x＞1}\end{array}\right.$，函数f（x）的最小值为f（-1）=2，
故当a≤2时，不等式f（x）＜a（a∈R）的解集为空集．

点评 本题主要考查队友绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．