Question

5．若f（x）=2cos²x-1-2a-2acosx的最小值为-$\frac{1}{2}$，则实数a=$\frac{3}{8}$或$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得f（x）=2（cosx-a）²-2a²-2a-1，由二次函数区间的最值分类讨论可得．

解答 解：f（x）=2cos²x-1-2a-2acosx
=2（cosx-a）²-2a²-2a-1，
当a≤-1时，由二次函数可知当cosx=-1时，
函数取最小值1，不等于-$\frac{1}{2}$，不合题意；
当a≥1时，由二次函数可知当cosx=1时，
函数取最小值1-4a=-$\frac{1}{2}$，解得a=$\frac{3}{8}$；
当-1＜a＜1时，由二次函数可知当cosx=a时，
函数取最小值-2a²-2a-1=-$\frac{1}{2}$，解得a=-$\frac{1}{2}$；
综上可得实数a=$\frac{3}{8}$或a=-$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{8}$或$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及换元法和二次函数区间的最值以及分类讨论的思想，属中档题．