Question

10．正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=EA，CF=2FB，如果对于常数λ，在正方形ABCD的四条边上（不含顶点）有且只有6个不同的点P，使得$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=λ$成立，那么λ的取值范围为（　　）

• A． $（-3，-\frac{1}{4}）$
• B． （-3，3）
• C． $（-\frac{1}{4}，3）$
• D． （3，12）

Answer 1

分析 以DC为x轴，以DA为y轴建立平面直角坐标系，求出数量积$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的表达式，结合一元二次函数的图象和性质求出$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=λ$有一解，两解的情况，即可得到结论．

解答 解：以DC为x轴，以DA为y轴建立平面直角坐标系，如图，则E（0，3），F（6，4）．
（1）若P在CD上，设P（x，0），0≤x≤6．∴$\overrightarrow{PE}$=（-x，3），$\overrightarrow{PF}$=（6-x，4）
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=x²-6x+12=（x-3）²+3，
∵x∈[0，6]，∴3≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$≤12．
∴当λ=3时有一解，当3＜λ≤12时有两解．
（2）若P在AD上，设P（0，y），
∵0＜y≤6．∴$\overrightarrow{PE}$=（0，3-y），$\overrightarrow{PF}$=（6，4-y）．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=y²-7y+12=（y-$\frac{7}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∵0＜y≤6，∴-$\frac{1}{4}$≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$＜12．
∴当λ=-$\frac{1}{4}$或6＜λ＜12，有一解，当-$\frac{1}{4}$≤λ＜6时有两解．
（3）若P在AB上，设P（x，6），0＜x≤6.$\overrightarrow{PE}$=（-x，-3），$\overrightarrow{PF}$=（6-x，-2）．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=x²-6x+6=（x-3）²-3，
∵0＜x≤6．∴-3≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$≤6．
∴当λ=-3时有一解，当-3＜λ≤6时有两解．
（4）若P在BC上，设P（6，y），0＜y＜6，
∴$\overrightarrow{PE}$=（-6，3-y），$\overrightarrow{PF}$=（0，4-y）．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=y²-7y+12=（y-$\frac{7}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∵0＜y＜6，∴-$\frac{1}{4}$≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$＜12．
∴当λ=-$\frac{1}{4}$或6≤λ＜12时有一解，
当-$\frac{1}{4}$≤λ＜12时有两解．
综上，若在正方形ABCD的四条边上（不含顶点）有且只有6个不同的点P，
则-$\frac{1}{4}$＜λ＜3．
故选：C．

点评 本题主要考查数量积的应用，建立坐标系，转化为一元二次函数，利用一元二次函数的图象和性质进行求解是解决本题的关键．