Question

【题目】图①中△ABC 为直角三角形D、E 分别为 AB、AC 的中点，将△ADE 沿 DE 折起使平面 ADE⊥BCED，连接 AB，AC，BE如图②所示.

（1）在线段AC上找一点P，使EP∥平面ABD，并求出异面直线AB、EP所成的角；

（2）在平面ABD内找一点Q，使PQ⊥平面ABE，并求三棱锥P-ABE的体积.

Answer 1

【答案】（1）点P为AC的中点，（2）Q为DF的中点，

【解析】

（1）分别取 AC、AB 的中点 P、F，依次连 EP、PF、FD，先证四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定即可得解；由等腰三角形的性质可得，即可得，即可得解；

（2）过P作并延长DF于Q，先证明平面ABE，再通过平面几何知识求证即可得解；求出和PO长度即可求得体积.

（1）分别取 AC、AB 的中点 P、F，依次连 EP、PF、FD，

则且，

D、E 分别为 AB、AC 的中点，

，，，即四边形为平行四边形，

又平面，平面，平面，

即所求的点P为AC的中点，

，，

，，

故异面直线 AB、EP 所成的夹角为

（2）连结EF，因为，，平面ABD，

平面ABD，，

又，，平面DEPF，

又平面ABE，

平面平面DEPF，且平面平面，

在平面DEPF中，过P作并延长DF于Q，则平面ABE，

因为四边形DEPF是矩形，且PF=DE=1，，

当时，，，

知Q为DF的中点，

在中， ，，,，

又，

所以.