Question

19．有下列命题：
（1）函数y=4cosx，x∈[-10π，10π]不是周期函数；
（2）函数y=lg（sinx+1）在区间[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）上是单调递增函数；
（3）在△ABC中，∠A=60°，AB+AC=2，则BC边长的最小值为1；
（4）函数y=$\frac{6+si{n}^{2}x}{2-sinx}$的最小值为2$\sqrt{10}$-4．
其中正确命题的序号是（3）．

Answer 1

分析 由周期函数的概念判断（1）；举例说明（2）错误；求解三角形说明（3）正确；由基本不等式求最值的条件判断（4）错误．

解答 解：对于（1），函数y=4cosx，x∈[-10π，10π]不是周期函数，正确，否则，若认为2π是函数周期，则20π也是周期，与周期函数的概念不符；
对于（2），函数y=lg（sinx+1）在区间[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）上是单调递增函数，错误，当x=$-\frac{π}{2}$时，sinx+1=0，原函数无意义；
对于（3），在△ABC中，∠A=60°，AB+AC=2，则BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos60°，
即BC²=（AB+AC）²-3AB•AC$≥（AB+AC）^{2}-3•（\frac{AB+AC}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}（AB+AC）^{2}=\frac{1}{4}×4=1$，则BC边长的最小值为1，故（3）正确；
对于（4），函数y=$\frac{6+si{n}^{2}x}{2-sinx}$=$\frac{（2-sinx）^{2}-4（2-sinx）+10}{2-sinx}$=$（2-sinx）+\frac{10}{2-sinx}-4$$≥2\sqrt{10}-4$，
当且仅当$2-sinx=\frac{10}{2-sinx}$，即$sinx=2±\sqrt{10}$时上式等号成立，而$sinx≠2±\sqrt{10}$，则函数y=$\frac{6+si{n}^{2}x}{2-sinx}$的最小值取不到2$\sqrt{10}$-4，故（4）错误．
∴正确命题的序号是（3）．
故答案为：（3）．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了周期函数的概念，考查对数函数的性质，训练了三角形的解法及利用基本不等式求最值，是中档题．