Question

4．下列关于概率和统计的几种说法：①10名工人某天生产同一种零件，产生的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c的大小为c＞a＞b；②样本4，2，1，0，-2的标准差是2；③在面积为S的△ABC内任选一点P，则随机事件“△PBC的面积小于$\frac{S}{3}$”的概率为$\frac{1}{3}$；④从写有0，1，2，…，9的十张卡片中，有放回地每次抽一张，连抽两次，则两张卡片上的数字各不相同的概率为$\frac{9}{10}$．其中正确说法的序号有④．

Answer 1

分析 ①根据平均数，中位数，众数的定义进行比较即可．
②根据标准差的公式进行判断．
③根据几何概型的概率公式进行求解判断．
④根据概率公式进行判断．

解答 解：：①10名工人某天生产同一种零件，产生的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，
安装大小排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，则其平均数为a=15+$\frac{1}{10}$（-5-3-1-1+1+2+2+2）=15-0.3=14.7，
中位数为b=15，众数为c=17，则a，b，c的大小为c＞b＞a；故①错误，
②样本4，2，1，0，-2的平均数为1，标准差$\frac{1}{5}$$\sqrt{（4-1）^{2}+（2-1）^{2}+（0-1）^{2}+（-2-1）^{2}}$=$\frac{1}{5}$$•\sqrt{20}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，故②错误；
③解：作出△ABC的高AO，当“△PBC的面积等于$\frac{S}{3}$”时，此时OP=$\frac{1}{3}AO$，
要使“△PBC的面积小于$\frac{S}{3}$”，则P位于阴影部分，
则△AEF的面积S₁=$（\frac{2}{3}）^{2}S=\frac{4}{9}S$，
则阴影部分的面积为$S-\frac{4}{9}S=\frac{5}{9}S$，
则根据几何概型的概率公式可得“△PBC的面积小于$\frac{S}{3}$”的概率为$\frac{\frac{5}{9}S}{S}=\frac{5}{9}$，故③错误，
④由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生所包含的事件数是10×10=100，
满足条件的事件数，第一次有10种结果，第二次有9种结果，共有10×9=90种结果，
∴两张卡片数字各不相同的概率是P=$\frac{90}{100}$=$\frac{9}{10}$．故④正确，
故答案为：④

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及统计与概率的知识，综合性较强，有一定的难度．