Question

13．已知$\overrightarrow{i}$、$\overrightarrow{j}$均为单位向量，且互相垂直，且$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{i}$+2$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{b}$=-6$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{j}$，而（$λ\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$），求λ值．

Answer 1

分析 利用向量坐标的定义写出向量的坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程，求出λ的值

解答 解：∵i、j均为单位向量，且互相垂直，且$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{i}$+2$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{b}$=-6$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{j}$，
∴$\overrightarrow{a}$=（3，2），$\overrightarrow{b}$=（-6，1）
∴（$λ\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）=（3λ-6，2λ+1）
（$\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$）=（3+6λ，1），
∵（$λ\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$），
∴（3λ-6）（3+6λ）+（2λ+1）=0
即18λ²-25λ-17=0，
$λ=-\frac{1}{2}$，或$λ=\frac{17}{9}$

点评 本题考查向量的坐标运算；向量垂直的坐标形式的充要条件：对应坐标乘积的和为0