Question

5．已知函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax（其中a＞0）在区间[0，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围为[1，+∞）．

Answer 1

分析 求导数便可得到$f′（x）=\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}-a$，从而x∈[0，+∞）便有$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}≥0$，这样根据f（x）在[0，+∞）上是单调函数便可得出a≤0，即得出了实数a的取值范围．

解答 解：$f′（x）=\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}-a$；
∵f（x）在区间[0，+∞）上是单调函数，且x∈[0，+∞）时，$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{x}^{2}}}}$；
∴$0≤\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}＜1$；
又a＞0；
∴a≥1；
∴a的取值范围为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．

点评 考查函数单调性和函数导数符号的关系，以及复合函数的求导公式，注意正确求导．