Question

9．如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA=$\frac{1}{4}$acosB，b=4$\sqrt{3}$．
（1）若c=2$\sqrt{7}$，求cosC；
（2）D为BC边上一点，若AD=2，S_△DAC═2$\sqrt{3}$，求DC的长．

Answer 1

分析 （1）由sinA=$\frac{1}{4}$acosB，可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{4}{cosB}$，由正弦定理可得$\sqrt{3}$cosB=sinB，解得B=60°，可求sinC=$\frac{2\sqrt{7}cosB}{4}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，利用大边对大角可得C为锐角，即可解得cosC．
（2）利用三角形面积公式可求sin∠CAD=$\frac{1}{2}$，由B=60°，∠ADC=∠B+∠BAD＞60°，可得∠CAD=30°，利用余弦定理即可求CD的值．

解答 解：（1）在△ABC中，∵sinA=$\frac{1}{4}$acosB，
∴可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{4}{cosB}$，
∵b=4$\sqrt{3}$，c=2$\sqrt{7}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{4\sqrt{3}}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{7}}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}=\frac{4}{cosB}$＞0，
∴4$\sqrt{3}$cosB=4sinB，两边平方可得，3cos²B=sin²B，解得：cosB=$\frac{1}{2}$，B=60°，
∴sinC=$\frac{2\sqrt{7}cosB}{4}$=$\frac{2\sqrt{7}×\frac{1}{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∵c＜b，C为锐角，可得：cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{3}{4}$．
（2）∵S_△DAC═2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$AC•AD•sin∠CAD=$\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×2×$sin∠CAD，解得：sin∠CAD=$\frac{1}{2}$，
∴∠CAD=30°，或150°，
∵∠ADC=∠B+∠BAD＞60°，可得∠CAD＜120°，
∴∠CAD=30°，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}+A{D}^{2}-2AC•AD•cos∠DAC}$=$\sqrt{48+4-2×2×4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，大边对大角在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．