Question

15．若关于x的方程（5x+$\frac{5}{x}$）-|4x-$\frac{4}{x}$|=m在（0，+∞）内恰有四个相异实根，则实数m的取值范围为（6，10）．

Answer 1

分析 分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．

解答 解：当x≥1时，4x-$\frac{4}{x}$≥0，
∵方程$（5x+\frac{5}{x}）-|4x-\frac{4}{x}|=m$，
∴5x+$\frac{5}{x}$-4x+$\frac{4}{x}$=m，即x+$\frac{9}{x}$=m；
∵x+$\frac{9}{x}$≥6；
∴当m＜6时，方程x+$\frac{9}{x}$=m无解；
当m=6时，方程x+$\frac{9}{x}$=m有且只有一个解；
当6＜m＜10时，方程x+$\frac{9}{x}$=m在（1，+∞）上有两个解；
当m=10时，方程x+$\frac{9}{x}$=m的解为1，9；
当x＜1时，4x-$\frac{4}{x}$＜0，
∵方程$（5x+\frac{5}{x}）-|4x-\frac{4}{x}|=m$，
∴5x+$\frac{5}{x}$+4x-$\frac{4}{x}$=m，
即9x+$\frac{1}{x}$=m；
∵9x+$\frac{1}{x}$≥6；
∴当m＜6时，方程9x+$\frac{1}{x}$=m无解；
当m=6时，方程9x+$\frac{1}{x}$=m有且只有一个解；
当6＜m＜10时，方程9x+$\frac{1}{x}$=m在（0，1）上有两个解；
当m=10时，方程9x+$\frac{1}{x}$=m的解为1，$\frac{1}{9}$；
综上所述，实数m的取值范围为（6，10）．
故答案为：（6，10）．

点评 本题考查了绝对值方程的解法与应用，同时考查了基本不等式的应用及转化思想的应用．