Question

8．记z=x+ky+1，（k∈R），其中x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2≤0}\\{x-2y+2≥0}\\{x+y-1≥0}\end{array}\right.$，若z的最大值为3，则实数k的值为0，z的最小值为1．

Answer 1

分析 作出可行域，根据z的最大值为3，判断目标函数的斜率得出k的值，根据可行域得出最优解的位置，计算z的最小值．

解答 解：作出约束条件的可行域，如图所示：

（1）若k=0，则z=x+1，显然当x=2时z取得最大值3，符合题意，此时，当x=0时，z取得最小值1．
（2）若k≠0，由z=x+ky+1得y=-$\frac{1}{k}x+\frac{z-1}{k}$．
①若k＞0，则当直线y=-$\frac{1}{k}x+\frac{z-1}{k}$经过点B（2，2）时，直线截距最大，即z最大．
∴3=2+2k+1，解得k=0（舍），
②若k＜0，则当-$\frac{1}{k}$≤2即k≤-$\frac{1}{2}$时，直线y=-$\frac{1}{k}x+\frac{z-1}{k}$经过点C（1，0）时，直线截距最小，即z最大．
∴3=1+0×k+1，无解．
当-$\frac{1}{k}$≥2即-$\frac{1}{2}≤$k＜0时，直线y=-$\frac{1}{k}x+\frac{z-1}{k}$经过点B（2，2）时，直线截距最小，即z最大
∴3=2+2k+1，解得k=0（舍）．
综上，k=0，z的最小值为1．
故答案为0，1．

点评 本题考查了简单的线性规划，根据可行域判断最优解的位置是解题关键，属于中档题．