Question

9．设定义在（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）-log₂x]=6．若x₀是方程f（x）-f′（x）=4的一个解，且${x_0}∈（a，a+1）（a∈{{N}^*}）$，则a=（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由题意可得f（x）-log2x为定值，设为t，代入可得t=4，进而可得函数的解析式，化方程有解为函数F（x）=f（x）-f′（x）-4=log2x-1xln2有零点，
易得F（1）＜0，F（2）＞0，由零点的判定可得答案．

解答 根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=6，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）-log₂x为定值，
设t=f（x）-log₂x，则f（x）=t+log₂x
又由f（t）=6，可得t+log₂t=6，
可解得t=4，故f（x）=4+log₂x，f′（x）=$\frac{1}{xln2}$，
又x₀是方程f（x）-f′（x）=4的一个解，
所以x₀是函数F（x）=f（x）-f′（x）-4=log₂x-$\frac{1}{xln2}$的零点，
分析易得F（1）=-$\frac{1}{ln2}$＜0，F（2）=1-$\frac{1}{2ln2}$=1-$\frac{1}{ln4}$＞0，
故函数F（x）的零点介于（1，2）之间，故a=1，
故答案为：1

点评 本题主要考察函数零点定理的判定，属于中档题．