Question

【题目】已知等比数列{an}满足an+1+an=92n﹣1 ， n∈N* ． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=nan ， 数列{bn}的前n项和为Sn ， 若不等式Sn＞kan﹣1对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q， ∵an+1+an=92n﹣1 ，
∴a2+a1=9，a3+a2=18，
∴q= = =2
又2a1+a1=9，∴a1=3．
∴an=32n﹣1 ． n∈N* ．
（Ⅱ）bn=nan=3n2n﹣1 ．
∴Sn=3×1×20+3×2×21+…+3（n﹣1）×2n﹣2+3n×2n﹣1 ，
∴ Sn=1×20+2×21+…+（n﹣1）×2n﹣2+n×2n﹣1 ，
∴ Sn=1×21+2×22+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n ，
∴﹣ Sn=1+21+22+…+2n﹣1﹣n×2n= ﹣n×2n=（1﹣n）2n﹣1，
∴Sn=3（n﹣1）2n+3，
∵Sn＞kan﹣1对一切n∈N*恒成立，
∴k＜ = =2（n﹣1）+ ，
令f（n）=2（n﹣1）+ ，
∴f′（n）=2+ （ ）n＞0，
∴f（n）随n的增大而增大，
∴f（n）min=f（1）= ，
∴实数k的取值范围为（﹣∞， ）．
【解析】（Ⅰ）利用等比数列{an}满足an+1+an=92n﹣1 ， 确定数列的公比与首项，即可求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）利用错误相减法求出Sn ， 再利用不等式Sn＞kan﹣1，分离参数，求最值，即可求实数k的取值范围．