Question

【题目】给出下列四个命题：

①“”是“”的必要不充分条件

②函数的最小值为2

③命题“，”的否定是“，”

④已知双曲线过点，且渐近线为，则离心率，其中所有正确命题的编号是：_______.

Answer 1

【答案】①④

【解析】

根据充分必要条件的关系和定义，可判断①；根据基本不等式成立条件，结合对勾函数求得最小值，即可判断②；根据含有量词的否定形式，可判断③；根据双曲线的渐近线方程，可设出标准方程，代入点的坐标，即可求得双曲线方程，进而求得离心率，即可判断④.

对于①，当时，满足，所以，反过来不成立，因而“”是“”的必要不充分条件，所以①正确；

对于②，函数，令，则，由对勾函数性质可知，当时取得最小值，，即的最小值为，所以②错误；

对于③，命题“，”的否定是“，”，所以③错误；

对于④，双曲线渐近线为，不妨设双曲线方程为，且过点，代入可得，所以，即，所以离心率为，所以④正确；

综上可知，正确的为①④，

故答案为：①④.