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    【题目】在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中A（0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为，则实数a的值为_____．

    【答案】3

    【解析】

    设直线AB的方程为y＝kx+1，则直线AC的方程可设为yx+1，（k≠0），联立方程得到B（，），故S，令t，得S，利用均值不等式得到答案.

    设直线AB的方程为y＝kx+1，则直线AC的方程可设为yx+1，（k≠0）

    由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx＝0，所以x＝0或x

    ∵A的坐标（0，1），∴B的坐标为（，k1），即B（，），

    因此AB，

    同理可得：AC.

    ∴Rt△ABC的面积为SABAC

    令t，得S.

    ∵t2，∴S△ABC.

    当且仅当，即t时，△ABC的面积S有最大值为.

    解之得a＝3或a.

    ∵a时，t2不符合题意，∴a＝3.

    故答案为：3.

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