Question

如图，在三棱锥S-ABC中，平面SBC⊥平面ABC，SB=SC=AB=2，BC=2，∠BAC=90°，O为BC中点．
（Ⅰ）求点B到平面SAC的距离；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为SB=SC，O为BC中点，所以SO⊥BC
而平面平面SBC⊥平面ABC，平面SBC∩平面ABC=BC，所以SO⊥平面ABC，
以OB、OA、OS为x，y，z轴建立直角坐标系，得B（，0，0），A（0，，0），S（0，0，），C（-，0，0），
∴，，
设平面SAC的法向量为
∴，∴，可取
而，故点B到平面SAC的距离d=||=
（Ⅱ）由已知得平面SBC的法向量=（0，1，0），平面SAC的法向量=（-1，1，1）
∴二面角A-SC-B的余弦值等于==．
分析：（Ⅰ）以OB、OA、OS为x，y，z轴建立直角坐标系，用坐标表示点与向量，求得平面SAC的法向量，而，从而可求点B到平面SAC的距离d=||；
（Ⅱ）由已知得平面SBC的法向量=（0，1，0），平面SAC的法向量=（-1，1，1），从而可得二面角A-SC-B的余弦值．
点评：本题考查点到面的距离，考查面面角，解题的关键是建立空间直角坐标系，确定平面的法向量，属于中档题．