Question

17．已知双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍，若抛物线C₂：x²=2py，（p＞0）的焦点到双曲线C₁的渐近线的距离为2，求抛物线C₂的标准方程．

Answer 1

分析 利用双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍，推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．

解答 解：∵双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍，
∴c=2a，即$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=4，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=3，
双曲线的一条渐近线方程为：bx-ay=0．
抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点（0，$\frac{p}{2}$）到双曲线C₁的渐近线的距离为2，
∴2=$\frac{|\frac{ap}{2}|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$，
∵$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=3，∴p=8．
∴抛物线C₂的方程为x²=16y．

点评 本题考查抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算能力．