Question

12．已知函数f（x）的值满足f（x）＜0，对任意实数x，y都有f（xy）=f（x）•f（y），且f（-1）=1，f（27）=9，当0＜x＜1时，f（x）∈（0，1）．
（1）求f（1）的值，判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给出证明；
（3）若a≥0且f（a+1）≤$\root{3}{9}$，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，令y=-1，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；
（2）先证明当x＞0时，f（x）＞0，再利用已知和单调函数的定义，证明函数f（x）在[0，+∞）上的单调性；
（3）先利用赋值法求得f（3）=$\root{3}{9}$再利用函数的单调性解不等式即可

解答 解：（1）令x=y=-1，可得f（1）=1…（2分）令y=-1，则f（-x）=f（x）•f（-1），∵f（-1）=1，∴f（-x）=f（x），f（x）为偶函数．
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数，
证明如下：若x＞0，则f（x）=f（$\sqrt{x}•\sqrt{x}$）≥0．
若存在x₀＞0，使得f（x₀）=0，则f（27）=f（$\frac{27}{{x}_{0}}•{x}_{0}$）=f（$\frac{27}{{x}_{0}}$）×f（x₀）=0与已知矛盾，
∴当x＞0时，f（x）＞0
设：0＜x₁＜x₂，∴$0＜\frac{x_1}{x_2}＜1$，由题设知$0＜f（{\frac{x_1}{x_2}}）＜1$
且$f（{x_1}）=f（\frac{x_1}{x_2}•{x_2}）=f（\frac{x_1}{x_2}）f（{x_2}）$，∴$f（{x_1}）-f（{x_2}）=f（{x_2}）（1-f（{\frac{x_1}{x_2}}））$…（8分）
$又∵0＜f（\frac{x_1}{x_2}）＜1，f（{x_2}）＞0$∴f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）∵f（27）=9，而f（27）=f（3×9）=f（3）×f（9）=[f（3）]³∴${[f（3）]^3}=9，则f（3）=\root{3}{9}$∵$f（a+1）≤\root{3}{9}$
∴f（a+1）≤f（3），∴a+1≤3，a≥0⇒0≤a≤2．
∴a的取值范围：[0，2]．

点评 本题考查了抽象函数表达式的意义和运用，函数奇偶性的定义和判断方法，函数单调性定义及其证明，利用函数的单调性解不等式的方法