Question

如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB=AD，CD=2AB，E为PC中点．若PB与平面ABCD所成的角为45°
（1）求异面直线PD与BE所成角的大小；
（2）求二面角E-BD-C的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立空间直角坐标系，设异面直线PD与BE所成角为θ，由cosθ=|cos＜

PD

，

BE

＞|=

| PD • BE |

| PD |•| BE |

，利用向量法能求出异面直线PD与BE所成角．
（2）求出平面BDE的法向量和平面BDC的法向量，利用向量法能求出二面角E-BD-C的大小．

解答： 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，
建立空间直角坐标系，
设AB=AD=1，则CD=2，AP=AB=1，
P（0，0，1），D（0，1，0），C（2，1，0），
B（1，0，0），E（1，

1

2

，

1

2

），

PD

=（0，1，-1），

BE

=（0，

1

2

，

1

2

），
设异面直线PD与BE所成角为θ，
cosθ=|cos＜

PD

，

BE

＞|=

| PD • BE |

| PD |•| BE |

=

1 2 - 1 2

2 • 1 2

=0，
∴异面直线PD与BE所成角为90°．
（2）

DB

=（1，0，0），

DE

=（1，

1

2

，

1

2

），
设平面BDE的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • DB =x=0 n • DE =x+ 1 2 y+ 1 2 z=0

，
取y=1，得

n

=（0，1，-1），
又平面BDC的法向量

m

=（0，0，1），
设二面角E-BD-C的大小为θ，
cosθ=

| m • n |

| m |•| n |

=

1

2

=

2

2

．
∴θ=45°．
∴二面角E-BD-C的大小为45°．

点评：本题考查异面直线PD与BE所成角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．