Question

已知函数f（x）=-x²+2ex+m-1，g（x）=x+

e2

x

　（x＞0）．
（1）若y=g（x）-m有零点，求m的取值范围；
（2）确定m的取值范围，使得g（x）-f（x）=0有两个相异实根．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由基本不等式可得g（x）=x+

e2

x

≥2

x• e2 x

=2e，从而求m的取值范围；
（2）令F（x）=g（x）-f（x）=x+

e2

x

+x²-2ex-m+1，求导F′（x）=1-

e2

x2

+2x-2e=（x-e）（

x+e

x2

+2）；从而判断函数的单调性及最值，从而确定m的取值范围．

解答： 解：（1）∵g（x）=x+

e2

x

≥2

x• e2 x

=2e；
（当且仅当x=

e2

x

，即x=e时，等号成立）
∴若使函数y=g（x）-m有零点，
则m≥2e；
故m的取值范围为[2e，+∞）；
（2）令F（x）=g（x）-f（x）
=x+

e2

x

+x²-2ex-m+1，
F′（x）=1-

e2

x2

+2x-2e=（x-e）（

x+e

x2

+2）；
故当x∈（0，e）时，F′（x）＜0，x∈（e，+∞）时，F′（x）＞0；
故F（x）在（0，e）上是减函数，在（e，+∞）上是增函数，
故只需使F（e）＜0，
即e+e+e²-2e²-m+1＜0；
故m＞2e-e²+1．

点评：本题考查了基本不等式的应用及导数的综合应用，同时考查了函数零点的判断与应用，属于中档题．