Question

已知P是抛物线x²=2py（p＞0）上的动点，P到抛物线焦点的距离比到x轴的距离大1．
（1）求该抛物线的方程；
（2）如图，C，D是y轴正半轴上的两个不同的点，直线PC，PD分别交抛物线于另外一点G，H，作直线GH的平行线l与抛物线相切，切点为Q，求证：△PCQ与△PDQ的面积相等．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由P到抛物线焦点的距离比到x轴的距离大1，可得

p

2

=1，解得p即可得出．
（2）设P（x₁，y₁），G（x₂，y₂），H（x₃，y₃），Q（s，t），k_PG=k₁，k_PH=k₂．PQ与y轴的交点为M．直线PG的方程为：y-y₁=k（x-x₁），y1=

x 2 1

4

．与抛物线的方程联立可得x2-4k1x+4k1x1-

x

2 1

=0，可得x₂=4k₁-x₁，x₃=4k₂-x₁．由于k_GH=

x3+x2

4

．由x²=4y，利用导数可得y′|_x=s=

1

2

s．因此

x2+x3

4

=

1

2

s，可得2k₁+2k₂-x₁=s．直线PQ的方程为：y-

x 2 1

4

=

s+x1

4

(x-x1)，可得y_M=-

sx1

4

=-

x1

4

（2k₁+2k₂-x₁）．分别求出直线PG，PH与y轴的交点，只要证明

yC+yD

2

=y_M即可证明．

解答： 解：（1）∵P到抛物线焦点的距离比到x轴的距离大1，
∴

p

2

=1，解得p=2．
∴该抛物线的方程为x²=4y；
（2）设P（x₁，y₁），G（x₂，y₂），H（x₃，y₃），Q（s，t），k_PG=k₁，k_PH=k₂．PQ与y轴的交点为M．
直线PG的方程为：y-y₁=k（x-x₁），y1=

x 2 1

4

．
联立

y- x 2 1 4 =k1(x-x1) x2=4y

，化为x2-4k1x+4k1x1-

x

2 1

=0，
∴x₁+x₂=4k₁，
∴x₂=4k₁-x₁．
同理可得：x₃=4k₂-x₁．
k_GH=

y3-y2

x3-x2

=

x 2 3 4 - x 2 2 4

x3-x2

=

x3+x2

4

．
由x²=4y，可得y′=

1

2

x，
∴y′|_x=s=

1

2

s．
由题意可得：

x2+x3

4

=

1

2

s，
∴x₂+x₃=2s．
∴4k₁+4k₂-2x₁=2s，
∴2k₁+2k₂-x₁=s．
直线PQ的方程为：y-

x 2 1

4

=

s2 4 - x 2 1 4

s-x1

(x-x1)，
化为y-

x 2 1

4

=

s+x1

4

(x-x1)，
令x=0，解得y_M=-

sx1

4

=-

x1

4

（2k₁+2k₂-x₁）．
由直线PG的方程：y-

x 2 1

4

=k1(x-x1)，
令x=0，可得y_C=

x 2 1

4

-k1x1，
同理可得y_D=

x 2 1

4

-k1x1．
∴

yC+yD

2

=-

x1

4

(2k1+2k2-x1)．
∴直线PQ与y轴的交点M为线段CD的中点，
∴△PCQ与△PDQ的面积相等．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得出根与系数的关系、中点坐标公式、三角形的面积之比、斜率计算公式、利用导数研究切线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于难题．