Question

已知函数f（x）=asin²x+bsinxcosx满足f(

π

6

)=f(

3π

2

)=2
（1）求实数a，b的值以及函数f（x）的最小正周期；
（2）记g（x）=f（x+t），若函数g（x）是偶函数，求实数t的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）由已知解a，b的值，从而可求函数解析式为：f（x）=1+2sin(2x-

π

6

)，由周期公式即可求解．
（2）由（1）先求得g（x），由函数g（x）是偶函数，可得sin[(2t-

π

6

)+2x]=sin[(2t-

π

6

)-2x]，即有cos(2t-

π

6

)=0，从而解得实数t的值．

解答： 解：（1）由

f( π 6 )=2 f( 3π 2 )=2

得，

a+ 3 b=8 a=2

解得

a=2 b=2 3

…（3分）
将a=2，b=4

3

代入f（x）=asin²x+bsinxcosx
得f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx
所以f（x）=1-cos2x+

3

sin2x=1+2sin(2x-

π

6

)…（5分）
所以函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π…（6分）
（2）由（1）得f(x+t)=2sin[2(x+t)-

π

6

]+1，
所以g(x)=2sin(2x+2t-

π

6

)+1…（8分）
函数g（x）是偶函数，则对于任意的实数x，均有g（-x）=g（x）成立．
所以sin[(2t-

π

6

)+2x]=sin[(2t-

π

6

)-2x]
整理得，cos(2t-

π

6

)sinx=0对于任意的实数x均成立，
只有cos(2t-

π

6

)=0，解得2t-

π

6

=kπ+

π

2

，
所以t=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z…（12分）

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．