Question

已知函数f（x）=asin（x-

π

3

）+asin（x+

π

3

）-2sin²x，其中x∈[0，π]，a为常数
（ 1 ）求当sin（x-

π

3

）=

1

2

时，求y=f（x）的值；
（2）求使f（x）≥0恒成立时a的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由x∈[0，π]，可得x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，由sin（x-

π

3

）=

1

2

得x=

π

2

，从而由y=f（x）=f（

π

2

）即可求值．
（2）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=asinx-2sin²x，从而asinx-2sin²x≥0恒成立，即得a≥2sinx恒成立，从而解得a≥（2sinx）_max=2，即可求得a的最小值．

解答： （本小题满分12分）
解：

(1)∵x∈[0，π]

，
∴x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，…(2分)
∵由sin（x-

π

3

）=

1

2

得x=

π

2

，…（4分）
∴y=f（x）=f（

π

2

）=asin

π

6

+asin

5π

6

-2sin²

π

2

=

1

2

a+

1

2

a-2=a-2…（6分）
(2)∵f(x)=a(sinxcos

π

3

-cos

π

3

sinx)+a(sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

)-2sin2x，
即f（x）=asinx-2sin²x，…（8分）
在x∈[0，π]上，f（x）≥0恒成立，
即asinx-2sin²x≥0恒成立，
而sinx≥0，所以只需a-2sinx≥0，即a≥2sinx恒成立，…（10分）
故只需a≥（2sinx）_max=2成立即可，
∴a的最小值为2

，

…(12分)

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．