Question

点P是底面边长为2

3

，高为2的正三棱柱表面上一点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则

PM

•

PN

的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：转化思想,平面向量及应用,空间位置关系与距离

分析：根据题意，用平行于底面且过内切球球心的平面截该三棱柱，把问题转化为已知MN是边长为2

3

的正△ABC内切圆的一条直径，P为边AB上的一动点，求

PM

•

PN

的取值范围建立平面直角坐标系，利用向量的坐标表示求出

PM

•

PN

的取值范围的取值范围．

解答： 解：根据题意，用平行于底面且过内切球球心的平面截该三棱柱，如图所示；
问题转化为已知MN是边长为2

3

的正△ABC
内切圆的一条直径，P为边AB上的一动点，
求

PM

•

PN

的取值范围；
建立如图所示的直角坐标系，
∵⊙D是边长为2

3

的正△ABC内切圆，
∴内切圆的半径r=

1

3

|OC|=

1

3

×

3

2

×2

3

=1，
∴正△ABC内切圆的方程为x²+（y-1）²=1；
设P（t，0）（-

3

≤t≤

3

），
M（x₀，y₀），N（-x₀，2-y₀），
∴

PM

=（x₀-t，y₀），

PN

=（-x₀-t，2-y₀），
∴x₀²+（y₀-1）²=1，即x₀²+y₀²-2y₀=0；
∴

PM

•

PN

=t²-（x₀²+y₀²-2y₀）=t²，
∵-

3

≤t≤

3

，∴t²∈[0，3]；
∴

PM

•

PN

的取值范围的取值范围是[0，3]．
故答案为：[0，3]．

点评：本题考查了正三角形的中心、内切圆以及平面向量的数量积的运算等基础知识的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．