Question

已知函数f（x）=cos²ωxsinφ+sinωxcosωxcosφ（φ∈N^*且|φ|＜

π

4

），f（0）=f（

π

6

）
（Ⅰ）若ω=4，求φ的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在[0，

π

6

]内有且仅有一条对称轴但没有对称中心．求关于x的方程f（x）=0在区间[0，π]内的解．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由ω=4，f（0）=sinφ=f（

π

6

），整理可得：有tanφ=

3

3

，由|φ|＜

π

4

，即可求得φ的值．
（Ⅱ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=

1

2

sin（2ωx+

π

6

）+

1

4

，由已知即有x=

π

12

函数取得最大值，即ω

π

6

+

π

6

=

π

2

，可解得ω，f（x），由方程f（x）=0可得：sin（4x+

π

6

）=-

1

2

，从而可解得在区间[0，π]内的解．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cos²ωxsinφ+sinωxcosωxcosφ，
∵ω=4，
∵f（0）=sinφ=f（

π

6

）=cos²

2π

3

sinφ+sin

2π

3

cos

2π

3

，整理可得：sinφ=sin（φ+

ωπ

3

），
∴有tanφ=

3

3

，
∵|φ|＜

π

4

，
∴φ=

π

6

．
（Ⅱ）f（x）=cos²ωxsin

π

6

+sinωxcosωxcos

π

6

=

1+cos2ωx

4

+

3

4

sin2ωx+

1

4

=

1

2

sin（2ωx+

π

6

）+

1

4

，
函数f（x）的图象在[0，

π

6

]内有且仅有一条对称轴但没有对称中心．则x=

π

12

函数取得最大值，即ω

π

6

+

π

6

=

π

2

，解得ω=2．
∴f（x）=

1

2

sin（4x+

π

6

）+

1

4

，
方程f（x）=0可得：sin（4x+

π

6

）=-

1

2

，
4x+

π

6

=2kπ-

π

6

，或4x+

π

6

=2kπ-

5π

6

，k∈Z，
即：x=

kπ

2

-

π

12

或x=

kπ

2

-

π

4

，k∈Z，
故可解得：当k=1时，x=

5π

12

或

π

4

，但k=2时，x=

11π

12

或

3π

4

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．