Question

已知数列{c_n}满足c₁=1，c_n+1=

n

n+1

c_n，则数列c₅=

 

，通项c_n=

 

；若b_n=2c_nc_n+1，则数列{b_n}的前50项和为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：c₁=1，c_n+1=

n

n+1

c_n，可得

cn+1

cn

=

n

n+1

，c2=

1

2

．利用“累乘求积”可得c_n，可得b_n=2c_nc_n+1=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．再利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：∵c₁=1，c_n+1=

n

n+1

c_n，
∴

cn+1

cn

=

n

n+1

，c2=

1

2

．
∴当n≥2时，c_n=

cn

cn-1

×

cn-1

cn-2

×…×

c3

c2

×c₂
=

n-1

n

×

n-2

n-1

×…×

2

3

×

1

2

=

1

n

．
当n=1时，上式也成立．
∴cn=

1

n

．
∴c₅=

1

5

，c_n=

1

n

．
∴b_n=2c_nc_n+1=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴数列{b_n}的前50项和=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

50

-

1

51

)]
=2(1-

1

51

)
=

100

51

．
故答案分别为：

1

5

；

1

n

；

100

51

．

点评：本题考查了“裂项求和”、“累乘求积”方法，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．