Question

已知函数f（x）满足f（q+p）=f（p）f（q），f（1）=3，则

f2(1)+f(2)

f(1)

+

f2(2)+f(4)

f(3)

+

f2(3)+f(6)

f(5)

+…+

f2(1007)+f(2014)

f(2013)

=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由条件可令p=n-1，q=1，得到f（n）=3f（n-1），再令p=q=n，以及p=n，q=n-1．得到f（2n）=f²（n），f（2n-1）=f（n）f（n-1）．再计算出

f2(n)+f(2n)

f(2n-1)

=6．即可得到所求的值．

解答： 解：∵函数f（x）满足f（q+p）=f（p）f（q），f（1）=3，
∴f（n）=f（n-1）f（1）=3f（n-1），
f（2n）=f²（n），f（2n-1）=f（n）f（n-1）．
∴

f2(n)+f(2n)

f(2n-1)

=

2f2(n)

f(n)f(n-1)

=

2f(n)

f(n-1)

=6．
∴

f2(1)+f(2)

f(1)

+

f2(2)+f(4)

f(3)

+

f2(3)+f(6)

f(5)

+…+

f2(1007)+f(2014)

f(2013)

=6+6+6+…+6
=6×1007=6042．
故答案为：6042．

点评：本题考查抽象函数及应用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，同时考查观察和推理能力，属于中档题．