Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（-2）=0，当x＞0时，有

xf′(x)-f(x)

x2

＞0恒成立，则不等式xf（x）＞0的解集是（　　）

• A、（-2，0）∪（2，+∞）
• B、（-2，0）∪（0，2）
• C、（-∞，-2）∪（0，2）
• D、（-∞，-2）∪（2，+∞）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：首先构造函数g（x）=

f(x)

x

，然后得到该函数的单调区间，最后结合该函数的取值情形，进行求解．

解答： 解：∵

xf′(x)-f(x)

x2

＞0（x＞0），
设函数g（x）=

f(x)

x

，
∴g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，
∴g（x）的单调递增区间为（0，+∞），
∵g（-x）=

f(-x)

-x

=

-f(x)

-x

=g（x），
∴g（x）为偶函数，
∴g（x）的单调递减区间为（-∞，0），
∵f（-2）=0，
∴g（-2）=0．g（2）=0，
∴当x＜-2时，g（x）＞0，
当-2＜x＜0时，g（x）＜0，
当0＜x＜2时，g（x）＜0，
当x＞2时，g（x）＞0，
∵不等式xf（x）＞0的解集等价于g（x）＞0，
∴当x＜-2或x＞2时，g（x）＞0，
不等式xf（x）＞0的解集{x|x＜-2或x＞2}．
故选：D．

点评：题重点考查了函数的基本性质，函数的单调性与导数之间的关系等知识点，属于中档题．