Question

5．函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）在区间[0，20]上有50个最大值，则ω的范围是[$\frac{π}{120}$+$\frac{49π}{10}$，$\frac{π}{120}$+50π）．

Answer 1

分析 由正弦函数的图象特点，分别计算每一个最大值时对应的位置，确定第50个最值的取值范围解不等式即可．

解答 解：由正弦函数的图象特点，函数出现有50个最大值至少出现49$\frac{1}{4}$个周期
由题意数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）在区间[0，20]上至少有50个最大值
则49$\frac{1}{4}$T≤20⇒$\frac{197}{4}•\frac{2π}{ω}$≤20，
可得ω≥$\frac{197π}{40}$
故答案为：ω≥$\frac{197π}{40}$，
第一个最大值的位置为ωx+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，
第2个最大值的位置为ωx+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2π，
第3个最大值的位置为ωx+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2×2π，
…
第50个最大值的位置为ωx+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+49×2π，
第51个最大值的位置为ωx+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+50×2π，
则$\frac{π}{2}$+49×2π≤20ω+$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{2}$+50×2π，
解得$\frac{π}{120}$+$\frac{49π}{10}$≤ω＜$\frac{π}{120}$+50π，
故答案为：[$\frac{π}{120}$+$\frac{49π}{10}$，$\frac{π}{120}$+50π）

点评 本题主要考查了正弦函数的性质．根据条件分别确定每一个最值对应的横坐标，确定第50个最值的取值范围是解决本题的关键．