Question

求由抛物线y²=4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由图形得知：S_ACF＞S_AGF＞S_FDE，所以S_ACFEOA≥S_AFDEOA．判断过焦点的弦与对称轴垂直时，围成的面积最小，再利用定积分求面积．

解答： 解：由图形得知：S_ACF＞S_AGF＞S_FDE，
∴S_ACFEOA≥S_AFDEOA．
焦点F（a，0），焦点弦垂直于对称轴时所围面积最小．
以x轴为对称轴，y=

4ax

=2

ax

，y≥0，
∴所围成的图形面积的最小值S=

∫

a 0

2

ax

dx
=4

a

=4

a

•

2

3

•x 

3

2

|

a 0

 
=

8

3

a2．

点评：本题考查了抛物线的简单性质，考查了定积分的应用，综合性强，解题的关键是利用数形结合判断当过焦点的弦与对称轴垂直时，围成的面积最小．