Question

已知

x2-2x+2

2x-2

≥a对任意的x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：

x2-2x+2

2x-2

≥a对任意的x∈（1，+∞）恒成立?当x∈（1，+∞）时，a≤(

x2-2x+2

2x-2

)min，构造函数f（x）=

x2-2x+2

2x-2

=

1

2

[（x-1）+

1

x-1

]，利用基本不等式即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：

x2-2x+2

2x-2

≥a对任意的x∈（1，+∞）恒成立?当x∈（1，+∞）时，a≤(

x2-2x+2

2x-2

)min，
令f（x）=

x2-2x+2

2x-2

，
则f（x）=

(x-1)2+1

2(x-1)

=

1

2

[（x-1）+

1

x-1

]，
∵x∈（1，+∞），
∴x-1＞0，

1

x-1

＞0，
∴（x-1）+

1

x-1

≥2

(x-1)• 1 x-1

=2（当且仅当x=2时取“=”），
∴f（x）≥

1

2

×2=1，即f（x）_min=1，
∴a≤1．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查等价转化思想与构造函数思想的综合应用，考查基本不等式的应用，属于中档题．