Question

已知函数f（x）=

a|x|

ex-1

（a为常数）．
（1）当a＞0时，求f（x）的极值；
（2）设函数g（x）=x³-ax²+2，若x∈[-1，1]时，f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）当a＞0时，f（x）=

ax ex-1 ，x≥0 -ax ex-1 ，x＜0

，分x＜0与x≥0，去掉绝对值符号，利用导数讨论f（x）的单调性，从而可求得f（x）的极值；
（2）x∈[-1，1]时，f（x）≤g（x）恒成立，先有

f(-1)≤g(-1) f(1)≤g(1)

，解得a≤-

2

e2+1

＜0，所求a的取值在此范围上讨论即可．可分x∈[-1，0]与x∈（0，1]两种情况讨论，通过构造函数h（x）=e^x-1（x²-ax+1），利用导数判定其单调性，从而解相应的a的不等式组即可．

解答： 解：（1）当a＞0时，f（x）=

ax ex-1 ，x≥0 -ax ex-1 ，x＜0

，
当x＜0时，f（x）=

-ax

ex-1

，显然是减函数；
当x≥0时，f′（x）=

a(1-x)

ex-1

，x∈[0，1]时，f′（x）≥0，x∈[1，+∞）时，f′（x）≤0．
综上，f（x）分别在x∈（-∞，0），x∈[1，+∞）时是减函数，在x∈[0，1]时增函数，
∴f（x）_极小值=f（0）=0，f（x）_极大值=f（1）=a．
（2）x∈[-1，1]时，f（x）≤g（x）恒成立，先有

f(-1)≤g(-1) f(1)≤g(1)

，解得a≤-

2

e2+1

＜0，所求a的取值在此范围上讨论即可．
当x=0时，f（0）=0≤2=g（0）恒成立；
当（0，1]时，只须

ax

ex-1

≤x³-ax²+x，即a≤e^x-1（x²-ax+1），（a≤-

2

e2+1

）恒成立，
设h（x）=e^x-1（x²-ax+1），在x∈（0，1]时是增函数，

a≤- 2 e2+1 h(x)＞h(0)= 1 e

，解得a≤-

2

e2+1

；
当x∈[-1，0]时，同理化得-

ax

ex-1

≤x³-ax²+x，
只须-a≥e^x-1（x²-ax+1）（a≤-

2

e2+1

）恒成立，
∵h（x）=e^x-1（x²-ax+1），
∴h′（x）=e^x-1（x+1）[x-（a-1）]＞0，
∴h（x）在[-1，0）上是增函数．
得h（x）＜h（0）=

1

e

，此时，

a≤- 2 e2+1 -a≥ 1 e

，解得a≤-

1

e

；
综上，x∈[-1，1]时，f（x）≤g（x）恒成立，a的取值范围是a≤-

1

e

．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查导数法判定函数的单调性与极值，考查分类讨论思想、等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．