Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上的一点M（3，y₀）到焦点F的距离等于4．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若过点（4，0）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，求△ABO面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用抛物线C：y²=2px（p＞0）上的一点M（3，y₀）到焦点F的距离等于4，求出p的值，可得抛物线C的方程；
（Ⅱ）解法1：分类讨论，设出直线l：y=k（x-4），与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合面积公式，即可求△ABO面积的最小值；
解法2：设直线l：x=ty+4，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合面积公式，即可求△ABO面积的最小值；

解答： 解：（Ⅰ）依题意可知|MF|=3+

p

2

=4，∴p=2．故抛物线C的方程为：y²=4x．…（5分）
（Ⅱ）解法1：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=4，
联立方程组

y2=4x x=4

，解得y₁=-4，y₂=4S△ABC=

1

2

×4×|y1-y2|=16．…（8分）
②当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x-4）（k≠0）．
联立方程组

y2=4x y=k(x-4)

，消去x得y2-

4

k

y-16=0，
∴y1+y2=

4

k

，y₁•y₂=-16…（11分）S△ABC=

1

2

×4×|y1-y2|=2

(y1+y2)2-4y1•y2

=2

16( 1 k2 +4)

=8

1 k2 +4

＞16
综合①②可得当直线l的斜率不存在时，S_△ABC取得最小值16．…（13分）
解法2：设直线l：x=ty+4．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）…（7分）
联立方程组

y2=4x x=ty+4

，消去x得y²-4ty-16=0，
∴y₁+y₂=4t，y₁•y₂=-16…（10分）S△ABC=

1

2

×4×|y1-y2|=2

(y1+y2)2-4y1•y2

=2

16(t2+4)

=8

t2+4

当t=0时，S_△ABC取得最小值16．…（13分）

点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．