Question

某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．
（Ⅰ）求该考生本次测验选择题得50分的概率；
（Ⅱ）求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，该考生选择题得50分的概率为P（A）P（A）P（B）P（B），由此能求出结果．
（Ⅱ）该考生所得分数X=30，35，40，45，50，分别求出P（X=30），P（X=35），P（X=40），P（X=45），P（X=50），由此能求出X的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，
选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，
则P（A）=

1

2

，P（B）=

1

3

，
该考生选择题得50分的概率为：
P（A）P（A）P（B）P（B）=(

1

2

)2•(

1

3

)2=

1

36

．
（Ⅱ）该考生所得分数X=30，35，40，45，50，
P（X=30）=(

1

2

)2(1-

1

3

)2=

1

9

，
P（X=35）=

C

1 2

(

1

2

)2(

2

3

)2+(

1

2

)2•

C

1 2

•

1

3

•

2

3

=

1

3

，
P（X=40）=(

1

2

)2(

2

3

)2+

C

1 2

(

1

2

)2

C

1 2

•

1

3

•

1

2

+(

1

2

)2(

1

3

)2=

13

36

，
P（X=45）=

C

1 2

(

1

2

)2(

1

3

)2+(

1

2

)2

C

1 2

•

1

3

•

2

3

=

1

6

，
P（X=50）=(

1

2

)2(

1

3

)2=

1

36

，
∴X的分布列为：

X	30	35	40	45	50
P	1 9	1 3	13 36	1 6	1 36

EX=30×

1

9

+35×

1

3

+40×

13

36

+45×

1

6

+50×

1

36

=

115

3

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年的高考中都是必考题型．