Question

已知A，B，C为锐角△ABC的三个内角，若

p

与

q

是共线向量，且两向量

p

=（2-2sinA，cosA+sinA），

q

=（sinA-cosA，1+sinA）．
（1）求A的大小；
（2）求函数y=2sin²B+cos（

C-3B

2

）的单调增区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平行向量与共线向量,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用共线向量共线的性质求得cos2A=-

1

2

，再根据0＜2A＜π，求得A的值．
（2）由（1）可得B+C=

2π

3

，利用两角和差的三角公式化简函数y的解析式为 sin（2B-

π

6

）+1，
再根据B∈（

π

6

，

π

2

），求得函数的增区间．

解答： 解：（1）∵

p

与

q

是共线向量，∴2（1-sinA）（1+sinA）=sin²A-cosA²，
∴cos²A=

1

4

，∴cos2A=2cos²A-1=-

1

2

．
∵0＜2A＜π，∴2A=

2π

3

，A=

π

3

．
（2）由（1）可得B+C=

2π

3

，函数y=2sin²B+cos（

C-3B

2

）=1-cos2B+cos（

B+C-4B

2

）
=1-cos2B+cos（

π

3

-2B）=1-cos2B+

1

2

cos2B+

3

2

sin2B=

3

2

sin2B-

1

2

cos2B+1
=sin（2B-

π

6

）+1，
易知 B∈（

π

6

，

π

2

），故函数的增区间为（

π

6

，

π

3

）．

点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两角和差的三角公式，正弦函数的单调性，属于中档题．