Question

设f(x)=

1

2

x2+ax+

e3

ex

．
（1）若x∈(

3

2

，+∞)时，f（x）单调递增，求a的取值范围；
（2）讨论方程f（x）+|lnx|-ax-b=0的实数根的个数．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数在某点取得极值的条件

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数导数，当x∈(

3

2

，+∞)时，f（x）单调递增，说明当x∈(

3

2

，+∞)时，
f′(x)=x+a-

e3

ex

＞0，即a＞

e3

ex

-x在x∈(

3

2

，+∞)恒成立，又函数g(x)=

e3

ex

-x在x∈(

3

2

，+∞)上递减，∴a≥g(

3

2

)=-

3

2

；
（2）将方程化为

1

2

x2+

e3

ex

+|lnx|=b，令h(x)=

1

2

x2+

e3

ex

+|lnx|，利用导数求出h（x）的单调区间，讨论h（x）的取值，当x→0时，h（x）→+∞，当x→+∞时，h（x）→+∞，∴当b＜

1

2

+e

1

2

时，方程无解，当b=

1

2

+e

1

2

时，方程有一根，当b＞

1

2

+e

1

2

时，方程有两根．

解答： 解：（1）∵f(x)=

1

2

x2+ax+

e3

ex

，∴f′(x)=x+a-

e3

ex

，
∵当x∈(

3

2

，+∞)时，f（x）单调递增，∴当x∈(

3

2

，+∞)时，f′(x)=x+a-

e3

ex

＞0，
∴a＞

e3

ex

-x，函数g(x)=

e3

ex

-x 在x∈(

3

2

，+∞)上递减，∴a≥g(

3

2

)=-

3

2

；
（2）方程f（x）+|lnx|-ax-b=0，∴

1

2

x2+

e3

ex

+|lnx|=b，
令h(x)=

1

2

x2+

e3

ex

+|lnx|，
①当x＞1时，h′(x)=x-

e3

ex

+

1

x

，
∵x+

1

x

≥2，

e3

ex

≤

e

＜2，∴h′（x）＞0，
即h（x）在（1，+∞）上递增．
②当0＜x≤1时，h′(x)=x-

e3

ex

-

1

x

，
∵x-

1

x

＜0，

e3

ex

＞0，∴h′（x）＜0，
即h（x）在（0，1]上递减．
∵h(1)=

1

2

+e

1

2

，
当x→0时，h(x)=

1

2

x2+

e3

ex

+|lnx|→+∞，
当x→+∞时，h(x)=

1

2

x2+

e3

ex

+|lnx|→+∞，
∴当b＜

1

2

+e

1

2

时，方程无解，
当b=

1

2

+e

1

2

时，方程有一根，
当b＞

1

2

+e

1

2

时，方程有两根．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了导函数的符号与原函数单调性间的关系，训练了函数的零点的判断方法，体现了数学转化思想方法，是高考试卷中的压轴题．