Question

已知圆C：x²+y²+Dx-6y+1=0上有两点P、Q关于直线x-y+4=0对称．
（1）求圆C的半径；
（2）若OP⊥OQ，O为坐标原点，求PQ方程；
（3）直线l：（2m-1）x-（m-1）y+8m-6=0被圆C截得弦长最短时，求m的值．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）圆C：x²+y²+Dx-6y+1=0上有两点P、Q关于直线x-y+4=0对称，说明直线过圆心，易求D的值，然后求出圆的半径；
（2）设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程为y=-x+b．联立方程组，结合韦达定理，以及OP⊥OQ，求得k的方程，然后求直线PQ的方程．
（3）直线l被圆C截得的弦最长时，圆心（-1，3）在直线l上，圆C截得的弦为直径；当圆心C（-1，3）与A（3，1）的连线与l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短，由此可得结论．

解答： 解：（1）圆C：x²+y²+Dx-6y+1=0，圆心为（-

D

2

，3）．
∵点P、Q在圆上且关于直线x-y+4=0对称，
∴圆心（-

D

2

，3）在直线上．代入得D=2．
圆C：x²+y²+2x-6y+1=0，即圆C：（x+1）²+（y-3）²=9，
∴圆C半径为：3．
（2）∵直线PQ与直线x-y+4=0垂直，
∴设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程为y=-x+b．
将直线y=-x+b代入圆方程，x²+（-x+b）²+2x-6（-x+b）+1=0，得2x²+2（4-b）x+b²-6b+1=0．
△=4（4-b）²-4×2×（b²-6b+1）＞0，得2-3＜b＜2+3．
由韦达定理得x₁+x₂=-（4-b），x₁•x₂=

b2-6b+1

2

．
y₁•y₂=b²-b（x₁+x₂）+x₁•x₂=

b2-6b+1

2

+4b．
∵OP⊥OQ，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即b²-6b+1+4b=0．
解得b=1∈（2-3，2+3）．
∴所求的直线方程为y=-x+1．
（3）解：直线l：（2m-1）x-（m-1）y+8m-6=0，即：m（2x-y+8）+（-x+y-6）=0，恒过（-2，4）点，被圆C截得的弦最长时，圆心（-1，3）在直线l上，圆C截得的弦为直径；当圆心C（-1，3）与A（-2，4）的连线与所求截距所在直线垂直时，直线l被圆C截得的弦最短
∵CA=

(-1+2)2+(3-4)2

=

2

，圆的半径为3，
∴直线l被圆C截得的弦最短的弦长为2

32-( 2 )2

=2

7

．

点评：本题考查直线与圆的方程的应用，直线的一般式方程，考查直线恒过定点，考查直线与圆的位置关系，函数与方程的思想，是中档题．