Question

已知函数f(x)=

1+1nx

x

．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若对所有x≥1都有f(x)≥

k

x+1

，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）易求f′（x）=-

lnx

x2

，易证当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）递增，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减；从而可求f（x）的最大值；
（2）依题意，）对于任意的x≥1，f（x）≥

k

x+1

?k≤

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1），构造函数g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1），利用导数法可判断出g（x）在[1，+∞）上递增，从而可求g（x）_min，继而可得k的取值范围．

解答： 解：（1）f′（x）=

1 x •x-(1+lnx)

x2

=-

lnx

x2

，
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减；
∴f（x）_max=f（1）=1；
（2）对于任意的x≥1，f（x）≥

k

x+1

，即k≤

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1），
设g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1），则k≤g（x）_min；
∵g（x）=1+

1

x

+lnx+

lnx

x

，
∴g′（x）=

x-lnx

x2

，
令h（x）=x-lnx（x≥1），则h′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

≥0（仅当x=1时取等号），
∴h（x）在[1，+∞）上递增，
∴h（x）≥h（1）=1＞0，
∴g′（x））=

x-lnx

x2

＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上递增，
∴g（x）≥g（1）=2，即g（x）_min=2，
∴k≤2，即实数k的取值范围为（-∞，2]．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查函数的单调性与极值，考查构造函数思想与导数法的综合运用，属于难题．