Question

一个建设集团公司共有3n（n≥2，n∈N^*）个施工队，编号分别为1，2，3，…3n．现有一项建设工程，因为工人数量和工作效率的差异，经测算：如果第i（1≤i≤3n）个施工队每天完成的工作量都相等，则它需要i天才能独立完成此项工程．
（1）求证第n个施工队用m（1≤m＜n，m∈N^*）天完成的工作量不可能大于第n+k（1≤k≤2n）个施工队用m+k天完成的工作量；
（2）如果该集团公司决定由编号为n+1，n+2，…，3n共2n个施工队共同完成，求证它们最多不超过两天即可完成此项工作．

Answer 1

考点：反证法与放缩法,数学归纳法

专题：证明题,反证法,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）依题意，第i（1≤i≤3n）个施工队的工作效率为

1

i

，故本题即是证明当1≤m＜n，m∈N^*且1≤k≤2n时，利用作差法可得结论；
（2）要证明此命题，即是证明2（

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

）＞1（n≥2，n∈N^*），也就是证明：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

＞

1

2

（n≥2，n∈N^*）．可以利用数学归纳法或反证法进行证明．

解答： 证明：（1）依题意，第i（1≤i≤3n）个施工队的工作效率为

1

i

…1分
故本题即是证明当1≤m＜n，m∈N^*且1≤k≤2n时，

m

n

＜

m+k

n+k

…3分
∵

m

n

-

m+k

n+k

=

mn+mk-mn-nk

n(n+k)

=

(m-n)k

n(n+k)

当1≤m＜n，m∈N^*且1≤k≤2n时，

(m-n)k

n(n+k)

＜0显然成立，故命题得证．…6分
（2）要证明此命题，即是证明2（

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

）＞1（n≥2，n∈N^*），
也就是证明：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

＞

1

2

（n≥2，n∈N^*）．…9分
[法一]：利用数学归纳法：
（1）当n=2时，左边=

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

＞

1

2

，不等式成立．
（2）假设当n=k（k≥2，k∈N^*）时不等式成立．
即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k

＞

1

2

．
则当n=k+1时，

1

?k+1?+1

+

1

?k+1?+2

+…+

1

3k

+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k

+（

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

-

1

k+1

）＞

1

2

+（3×

1

3k+3

-

1

k+1

）=

1

2

．
所以当n=k+1时不等式也成立，
由（1），（2）知原不等式对一切n≥2，n∈N^*均成立．…14分
[法二]利用放缩法：
∵n≥2，
∴

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

＞

1

3n

+

1

3n

+…+

1

3n

=

2

3

＞

1

2

．
即

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

＞

1

2

（n≥2，n∈N^*）．…14分．

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查不等式的证明，考查数学归纳法、反证法的运用，属于中档题．