Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知bcosA-2ccosB=2bcosC-acosB．
（1）求

sinC

sinA

的值；
（2）若cosB=

1

4

，b=2，△ABC的面积S．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,正弦定理的应用

专题：综合题,解三角形

分析：（1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求

sinC

sinA

的值；
（2）先求出c=2a，再结合cosB=

1

4

，b=2，利用余弦定理，可求a，c的值，即可求出△ABC的面积S．

解答： 解：（1）∵bcosA-2ccosB=2bcosC-acosB，
∴sinBcosA-2sinCcosB=2sinBcosC-sinAcosB，
∴sinBcosA+sinAcosB=2（sinCcosB+sinBcosC），
∴sin（A+B）=2sin（B+C），
又A+B+C=π，
∴sinC=2sinA，
∴

sinC

sinA

=2；
（2）由

sinC

sinA

=2得c=2a，
∵cosB=

1

4

，b=2，
∴由余弦定理可得4=a²+4a²-4a²×

1

4

∴解得a=1．
因此c=2，
∵cosB=

1

4

，
∴sinB=

15

4

，
∴△ABC的面积S=

1

2

acsinB=

1

2

×1×2×

15

4

=

15

4

．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理，和角的正弦公式，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．