Question

已知函数f(x)=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞)．
（1）当a=4时，求函数f（x）的最小值；
（2）解关于x的不等式f（x）＞a+3；
（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=4时，利用基本不等式即可求函数f（x）的最小值；
（2）根据一元二次不等式的解法即可解关于x的不等式f（x）＞a+3；
（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，利用参数分离，然后求函数的最值，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵a=4，
∴f(x)=

x2+2x+4

x

=x+

4

x

+2≥6，
当x=2时，取得等号，
∴当x=2时，f（x）_min=6．
（2）由题意得

x2+2x+a

x

＞a+3，x∈[1，+∞)，
∴x²+2x+a＞（a+3）x，
∴x²-（a+1）x+a＞0，
∴（x-1）（x-a）＞0，
当a≤1，不等式的解为x＞1，即不等式的解集为（1，+∞），
当a＞1，不等式的解为x＞a，即不等式的解集为（a，+∞）．
（3）x∈[1，+∞)，

x2+2x+a

x

＞0恒成立，即x∈[1，+∞)，x2+2x+a＞0恒成立，
等价于a＞-x²-2x，当x∈[1，+∞）时恒成立，
令g（x）=-x²-2x，
则当x∈[1，+∞）时，g（x）的最大值为g（1）=-1-2=-3，
∴a＞-3．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决此类问题的基本方法．