Question

已知函数f（x）=x²-ax+3．
（1）当x＞0时，方程f（x）=-1有解，求a的最小值；
（2）当x∈[0，4]时，不等式f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）分类参数a=x+

4

x

（x＞0），利用基本不等式即可求得a的最小值；
（2）利用等价转化思想，将x∈[0，4]时，f（x）≥a恒成立，转化为当x∈[0，4]时，a≤

x2+3

x+1

=（x+1）+

4

x+1

-2恒成立，利用基本不等式即可求得a的取值范围．

解答： 解：（1）∵x²-ax+3=-1，
∴x²+4=ax，
∴a=

x2+4

x

=x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4（当且仅当x=2时取等号），
∴当x=2时，a有最小值4；
（2）x∈[0，4]时，f（x）≥a恒成立?当x∈[0，4]时，a≤

x2+3

x+1

=

(x+1)2-2(x+1)+4

x+1

=（x+1）+

4

x+1

-2恒成立，
令g（x）=（x+1）+

4

x+1

-2，则a≤g（x）_min（0≤x≤4）成立，
又（x+1）+

4

x+1

-2≥2（当且仅当x=1时取等号），即g（x）_min=2，
∴a≤2．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查基本不等式的应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于难题．