Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x²+ax-3）e^x（a为实数）．
（Ⅰ）当a=5时，求函数y=g（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）若存在两不等实根x₁，x₂∈[

1

e

，e]，使方程g（x）=2e^xf（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把a=5代入函数g（x）的解析式，求出导数，得到g（1）和g′（1），由直线方程的点斜式得切线方程；
（Ⅱ）利用导数求出函数f（x）在[t，t+2]上的单调区间，求出极值和区间端点值，比较大小后得到
f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）把f（x）和g（x）的解析式代入g（x）=2e^xf（x），分离变量a，然后构造函数h(x)=x+2lnx+

3

x

，由导数求出其在[

1

e

，e]上的最大值和最小值，则实数a的取值范围可求．

解答： 解：（Ⅰ）当a=5时，g（x）=（-x²+5x-3）-e^x，g（1）=e．
g′（x）=（-x²+3x+2）-e^x，故切线的斜率为g′（1）=4e
∴切线方程为：y-e=4e（x-1），即y=4ex-3e；
（Ⅱ）f′（x）=lnx+1，

x	(0， 1 e )	1 e	( 1 e ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值（最小值）	单调递增

①当t≥

1

e

时，在区间（t，t+2）上f（x）为增函数，
∴f（x）_min=f（t）=tlnt；                                      
②当0＜t＜

1

e

时，在区间(t，

1

e

)上f（x）为减函数，在区间(

1

e

，e)上f（x）为增函数，
∴f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；                                     
（Ⅲ） 由g（x）=2e^xf（x），可得：2xlnx=-x²+ax-3，
a=x+2lnx+

3

x

，
令h(x)=x+2lnx+

3

x

，h′(x)=1+

2

x

-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

．

x	( 1 e ，1)	1	（1，e）
h′（x）	-	0	+
h（x）	单调递减	极小值（最小值）	单调递增

h(

1

e

)=

1

e

+3e-2，h（1）=4，h（e）=

3

e

+e+2．
h(e)-h(

1

e

)=4-2e+

2

e

＜0．
∴使方程g（x）=2e^xf（x）存在两不等实根的实数a的取值范围为4＜a≤e+2+

3

e

．

点评：本题考查了导数在求函数最值中的应用，关键在于由导函数的符号确定原函数的单调性，考查利用构造函数法求解含字母系数的范围问题，解答的技巧是分类字母系数，是高考试卷中的压轴题．