Question

直线l：y=x+b与抛物线C：x²=4y相切于点A．
（Ⅰ） 求实数b的值，及点A的坐标；
（Ⅱ） 求过点B（0，-1）的抛物线C的切线方程．

Answer 1

考点：抛物线的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）直线l：y=x+b与抛物线C：x²=4y联立，消去y，利用直线l与抛物线C相切，可得△=（-4）²-4×（-4b）=0，即可求实数b的值，及点A的坐标；
（Ⅱ）设过点B（0，-1）的抛物线C的切线方程为y=kx-1，与抛物线C：x²=4y联立，消去y，利用直线l与抛物线C相切，可得△=0．即可求出过点B（0，-1）的抛物线C的切线方程．

解答： 解：（Ⅰ）直线l：y=x+b与抛物线C：x²=4y联立，消去y，可得x²-4x-4b=0． （*）
因为直线l与抛物线C相切，所以△=（-4）²-4×（-4b）=0，解得b=-1；
代入方程（*）即为x²-4x+4=0，解得x=2，y=1，故点A（2，1）．
（Ⅱ）设过点B（0，-1）的抛物线C的切线方程为y=kx-1．
与抛物线C：x²=4y联立，消去y，可得x²-4kx+4=0，
因为直线l与抛物线C相切，所以△=（-4k）²-4×4=0，解得k=±1，
所以过点B（0，-1）的抛物线C的切线方程为y=±x-1．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立直线与抛物线方程是关键．